Egész számoknak nevezzük a 0,1,2, … és −1,−2, … számokat. Az egész számok halmazának tehát részhalmaza a természetes számok halmaza.

Az egész számok halmazát Z-vel (általában tipográfiailag kiemelve, mint Z vagy \mathbb{Z}) jelöljük. Az egész számok halmaza végtelen, hisz a természetes számok halmazát tartalmazza. Sokkal meglepőbb, hogy az egész számok halmazának számossága megegyezik a természetes számok halmazának számosságával. Szemléletesen ez azt jelenti, hogy matematikai értelemben ugyanannyi elemük van, holott az egyik halmaz tartalmazza a másikat.
Természetes számoknak nevezzük

    a pozitív egész számokat, tehát az 1, 2, 3, 4, … számtani sorozat tagjait[1],
    újabb értelmezés szerint a nemnegatív egész számokat, tehát a 0, 1, 2, 3, … számtani sorozat tagjait[2][3][4].

A sorozat lépésköze 1, tehát a sorozat következő tagját mindig úgy kapjuk, hogy az utolsó taghoz hozzáadunk 1-et. Végtelen sok természetes szám van, mivel bármilyen nagy számhoz is hozzá tudunk adni 1-et, újabb tagot képezve a sorozatba.

A természetes számok halmazát a matematikában egy tipográfiailag kiemelt félkövér \mathbf{N} vagy „blackboard bold” (kontúros) \mathbb{N} betűvel jelölik (a latin naturalis, azaz 'természetes' szó nyomán). A természetes számok halmazának végtelen számú eleme van.
A negatív szám olyan szám, ami kisebb nullánál, mint például a ‒3, míg a pozitív szám szám, ami nagyobb nullánál, például a 3. A nulla se nem pozitív, se nem negatív. A nemnegatív számok azok a valós számok, amelyek nem negatívak (pozitívak vagy nulla). A nempozitív számok pedig azok, amelyek nem pozitívak (negatívak vagy nulla).

A komplex számok körében nincs a műveleti szabályokhoz jól illeszkedő rendezés, így nem értelmezhető a „pozitív komplex” szám fogalma. Ennek ellenére használják a „z pozitív” kifejezést, abban az értelemben, hogy „z tiszta valós és pozitív szám”.
Számolások negatív számokkal [szerkesztés]
Összeadás és kivonás [szerkesztés]

Az összeadás és a kivonás megértésének érdekében, gondolhatunk úgy a negatív számokra, mint adókra.

Hozzáadni egy negatív számot valamihez egyenértékű azzal, hogy kivonjuk a megfelelő pozitív számot:

    5 + (−3) = 5 − 3 = 2
    (Ha van 5 €-d és 3 € adósságod, akkor 2 € nettó vagyonod van)
    –2 + (−5) = −2 − 5 = −7

Ha kivonsz egy pozitív számot egy nála kisebb pozitív számból, akkor az eredmény negatív lesz:

    4 − 6 = −2
    (ha van 4 €-d és elköltesz 6 €-t, akkor 2 € adósságod lesz).

Ha kivonsz egy pozitív számot egy negatív számból, az eredmény negatív lesz:

    −3 − 6 = −9
    (ha van 3 € adósságod, és elköltesz még 6 €-t, akkor 9 € adósságod lesz).

Kivonni egy negatív számot ekvivalens azzal, ha hozzáadod a megfelelő pozitívat:

    5 − (−2) = 5 + 2 = 7
    (ha van 5 € nettód, és 2 € adósságodtól megszabadulsz, akkor a nettód 7 € lesz.)

Valamint:

    −8 − (−3) = −5
    (ha van 8 € adósságod, és 3 € adósságtól megszabadulsz, akkor még mindig marad 5 € adósságod).

Szorzás [szerkesztés]

Az indiai Brahmagupta az Kr.e. 7. században azt állította , hogy:

    „pozitív számot szorozva egy pozitív számmal pozitív számot kapunk, és negatívat negatívval szorozva szintén pozitív számot”[1]

Ezt a kijelentést vitatta Lazare Carnot a 19. században. Tudni akarta, hogyan lehet egy szám négyzete nagyobb, mint egy nála nagyobb szám négyzete. Más szóval, például a -3 négyzete nagyobb mint a 2 négyzete, holott a -3 kisebb a 2-nél. Ezzel a paradoxonnal egy évszázadon át nem tudtak mit kezdeni olyan nagyszerű matematikusok, mint például Euler vagy Laplace, és Cauchy sem tudott teljes választ adni a kérdésre. Hermann Hankel a komplex számok használatával bizonyította be, hogy Brahmagupta feltételezése igaz volt.

Egy negatív számot egy pozitívval szorozva az eredmény negatív:

    −2 \cdot 3 = −6

Két negatív szám szorzata pozitív:

    −4 \cdot −3 = 12

Ennek indokaként gondoljunk a szorzásra úgy, mint a természetes egészek szorzására. Pozitív számmal való szorzás egymás utáni összeadás, még ha a szorzandó negatív is. Ahogy 3 \cdot 2 = 2 + 2 + 2 = 6, úgy

    3 \cdot (-2) = (−2) + (−2) + (−2) = −6.

A szorzás kommutatív:

    3 \cdot (−2) = (−2) \cdot 3 = −6

Az előző észrevételt alkalmazva két negatív szám szorzásánál:
(−4) \cdot (−3)      =   − (−4) − (−4) − (−4)
    =  4 + 4 + 4
    =  12
Osztás [szerkesztés]

Az osztás hasonló a szorzáshoz. Negatív számot negatív számmal osztva az eredmény pozitív, pozitív számot negatívval osztva negatív.[2] Ha az osztandónak és az osztónak különböző az előjele, akkor a hányados negatív.

    8 : (−2) = −4
    −10 : 2 = −5

Ha az osztandó és az osztó előjele megegyezik, akkor a hányados pozitív, még akkor is ha mindketten negatívak.

    −12 : −3 = 4

A negatív- és nemnegatív egészek formális felépítése [szerkesztés]

A racionális számokhoz hasonlóan ki tudjuk egészíteni a természetes számokat N, az egész számokra Z azáltal, hogy definiálunk a természetes számokból egy rendezett párt (a, b). Itt is elvégezhető az összeadás és a szorzás a következő szabályokkal:

    (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
    (a, b) × (c, d) = (a × c + b × d, a × d + b × c)

Definiálunk egy ekvivalenciarelációt ~ ezen párok között a következő módon:

    (a, b) ~ (c, d) if and only if a + d = b + c.

Ez az ekvivalenciareláció összeegyeztethető az összeadással és a kivonással a fenti definíció szerint, és definiálhatjuk Z-t az N²/~ ekvivalenciaosztályaként, például azonosnak veszünk 2 párt (a, b) és (c, d), ha ekvivalensek a fenti módon.

Definiálhatunk egy teljes rendezettséget is Z-n:

    (a, b) ≤ (c, d) akkor, és csak akkor, ha a + d ≤ b + c.

Ez elvezet egy additív nullelemhez (a, a), (a, b) additív inverzéhez: (b, a), egy multiplikatív egységelemhez (a + 1, a), és a kivonás egy definíciójához:

    (a, b) − (c, d) = (a + d, b + c).
Racionális számok
A matematikában racionális számnak (hányados- vagy vegyes-törtszámnak) nevezzük két tetszőleges egész szám hányadosát, amelyet többnyire az a/b alakban írunk fel, ahol b nem nulla.

Egy racionális számot végtelen sok alakban felírhatunk, például \frac{3}{6} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}. A legegyszerűbb, azaz tovább nem egyszerűsíthető alak akkor áll elő, amikor a és b relatív prím. Minden racionális számnak pontosan egy olyan tovább nem egyszerűsíthető alakja van, ahol a nevező pozitív.

A racionális számok tizedestört alakja véges vagy végtelen szakaszos (tehát a felírásban egy ponton túl a számsorozat periodikusan ismétlődik). Ez az állítás nem csak a tízes-, hanem tetszőleges, egynél nagyobb, egész alapú számrendszerben való felírásra igaz. A tétel fordítottja is igaz: ha egy szám felírható véges vagy végtelen szakaszos tizedestört alakban, akkor az racionális szám.

Azokat a valós számokat, amelyek nem racionálisak, irracionális számoknak nevezzük.

Irracionális számok
Irracionális számnak nevezzük az olyan valós számokat, melyek nem racionálisak, vagyis amelyek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként. Az ilyen számok mindig végtelen, nem szakaszos tizedes törtek. A név ugyan latin, de az értelme görög. Az ókori görög 'mathéma' csak a természetes számokat tartotta számoknak. A törtek (bár úgy számoltak velük, mint mi) számukra csak két szám arányai voltak. Súlyos csapás volt az akkori bölcseletre, mikor rájöttek, hogy az egység oldalú négyzet átlója semmilyen aránnyal nem fejezhető ki. Ekkor kezdődött a geometria tudománnyá válása, mert sok, aránnyal ki nem fejezhető mennyiség (elvileg) pontosan kiszerkeszthető.

Nincs mindenki által egységesen elfogadott jelölés az irracionális számokra, azonban a \mathbb{Q}^* és az \mathbb{I} jelöléseket használják leggyakrabban. A félreértésekre legkevésbé lehetőséget adó jelölés az \mathbb{R}\backslash\mathbb{Q} (azaz a nem racionális valós számok).

Racionális számok

A racionális számok és az irracionális számok együtt alkotják a valós számok halmazát. A valós számok halmaza és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A valós számok halmaza végtelen, hisz tartalmazza a szintén végtelen számú természetes, egész és tört számokat, tehát összességében a racionális számok halmazát, valamint az irracionális számok halmazát. Nincs olyan szám, amely egyszerre racionális és irracionális lenne, és a két halmaz elemein kívül más nem tartozik a valós számokhoz.

A számhalmaz létrehozásában alapvető volt a görögök felfedezése, miszerint kettőnek a négyzetgyöke (a négyzetátló hosszának mérőszáma) nem racionális szám, bár pontos, matematikaliag kielégítő definícióra a 19. századig kellett várni.

A valós számok halmazának matematikai jele \mathbb{R} (a latin realis szóból, ami valósat, valóságosat jelent).

A bejegyzés trackback címe:

Kommentek:

A hozzászólások a vonatkozó jogszabályok  értelmében felhasználói tartalomnak minősülnek, értük a szolgáltatás technikai  üzemeltetője semmilyen felelősséget nem vállal, azokat nem ellenőrzi. Kifogás esetén forduljon a blog szerkesztőjéhez. Részletek a  Felhasználási feltételekben és az adatvédelmi tájékoztatóban.